定义
函数在某一点的导数是指函数在这该点附近变化率
- 设函数$f(x)$ 在 $x_0$ 附近有定义
对应自变量改变量$\Delta x$
有函数改变量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
若极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在
则称该极限为$f(x)$ 在 $x_0$ 处导数, 记作 $f^{‘}(x_0)$
引理
常数函数导数处处为零
- 设 $f(x) = C$
$f^{‘}(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{C - C}{\Delta x}$
$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{0}{\Delta x}$
$= 0$
图形化
$f(x) = x^2$
对于该公式可以表示一个边长为 $x$ 正方形面积公式
从导数层面理解, 设当变量 $x$ 增加 $dx$ 时, $f(x)$ 所增加为面积 $df$
$df$ = 两个长为 $x$, 宽为 $dx$ 长方形面积 +一个边长为 $dx$ 正方形面积
既有 $df = 2xdx + (dx)^2$
当 $dx $无限趋近于 $0$ 时, $(dx)^2$ 小到可被忽略, 则有
$df = 2xdx$ => $\frac{df}{dx} = 2x$
所以$f^{‘}(x) = 2x$