导数

基本初等函数导数推导

高等数学微积分—-教你如何简单地推导求导公式(一)

定义

导数是函数在某一点附近的变化率

设函数$f(x)$ 在点$x_0$ 附近有定义

对应自变量改变量$\Delta x$

有函数改变量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

若极限 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在

则称该极限为$f(x)$ 在 $x_0$ 处导数, 记作 $f^{‘}(x_0)$

引理

常数函数导数处处为零

设 $f(x) = C$

$f^{‘}(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{C - C}{\Delta x}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{0}{\Delta x}$

$= 0$

证明

图形化

$f(x) = x^2$

对于该公式可以表示一个边长为 $x$ 正方形面积公式

从导数层面理解, 设当变量 $x$ 增加 $dx$ 时, $f(x)$ 所增加为面积 $df$

$df$ = 两个长为 $x$, 宽为 $dx$ 长方形面积 +一个边长为 $dx$ 正方形面积

既有 $df = 2xdx + (dx)^2$

当 $dx $无限趋近于 $0$ 时, $(dx)^2$ 小到可被忽略, 则有

$df = 2xdx$ => $\frac{df}{dx} = 2x$

所以$f^{‘}(x) = 2x$

对应latex代码

\documentclass[tikz, border=10pt]{standalone}
\usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2, font=\sffamily] % 添加字体设置让整体更协调
    % 定义颜色
    \definecolor{bgYellow}{RGB}{244, 241, 208} % 米黄色
    \definecolor{bgGreen}{RGB}{217, 239, 201}  % 浅绿色

    % ================= 参数定义 =================
    \def\xLen{2}       % x 的边长
    \def\dxLen{0.25}   % dx 的长度 (改小一点, 更符合微积分中"无穷小"的视觉比例)
    \def\gap{0.05}     % 图形之间的间隙
    \def\shiftX{4.0}   % 右图的水平偏移量

    % ================= 左图 =================
    % 绘制正方形 (边长 xLen)
    \fill[bgYellow] (0,0) rectangle (\xLen, \xLen);
    \draw[thick] (0,0) rectangle (\xLen, \xLen);
    
    % 左侧大括号标注 x
    % 关键: 坐标严格基于 (0,0) 到 (0, \xLen), 使用 raise 控制向左的距离
    \draw[decorate, decoration={brace, amplitude=5pt, raise=4pt}] 
        (0, 0) -- (0, \xLen);
    % 节点放在 x=0 的左侧, 垂直方向取中点 \xLen/2
    \node[left=10pt] at (0, \xLen/2) {$x$};

    % ================= 右图 =================
    % 1. 原正方形 (黄色)
    \fill[bgYellow] (\shiftX, 0) rectangle (\shiftX+\xLen, \xLen);
    \draw[thick] (\shiftX, 0) rectangle (\shiftX+\xLen, \xLen);

    % 2. 右侧长方形 (绿色, 高 x, 宽 dx)
    \fill[bgGreen] (\shiftX+\xLen+\gap, 0) rectangle (\shiftX+\xLen+\gap+\dxLen, \xLen);
    \draw[thick] (\shiftX+\xLen+\gap, 0) rectangle (\shiftX+\xLen+\gap+\dxLen, \xLen);

    % 3. 下方长方形 (绿色, 宽 x, 高 dx)
    \fill[bgGreen] (\shiftX, -\gap-\dxLen) rectangle (\shiftX+\xLen, -\gap);
    \draw[thick] (\shiftX, -\gap-\dxLen) rectangle (\shiftX+\xLen, -\gap);

    % 4. 右下角小正方形 (绿色, 宽 dx, 高 dx)
    \fill[bgGreen] (\shiftX+\xLen+\gap, -\gap-\dxLen) rectangle (\shiftX+\xLen+\gap+\dxLen, -\gap);
    \draw[thick] (\shiftX+\xLen+\gap, -\gap-\dxLen) rectangle (\shiftX+\xLen+\gap+\dxLen, -\gap);

    % 左侧大括号标注 x
    % 关键: 坐标严格基于 \shiftX
    \draw[decorate, decoration={brace, amplitude=5pt, raise=4pt}] 
        (\shiftX, 0) -- (\shiftX, \xLen);
    \node[left=10pt] at (\shiftX, \xLen/2) {$x$};

    % 右下侧大括号标注 dx
    % 关键: 坐标严格基于小正方形的右边界 (\shiftX+\xLen+\gap+\dxLen)
    \draw[decorate, decoration={brace, amplitude=4pt, mirror, raise=4pt}] 
        (\shiftX+\xLen+\gap+\dxLen, -\gap-\dxLen) -- (\shiftX+\xLen+\gap+\dxLen, -\gap);
    % 节点放在右边界的右侧, 垂直方向取小正方形的中点 (-\gap - \dxLen/2)
    \node[right=6pt] at (\shiftX+\xLen+\gap+\dxLen, -\gap-\dxLen/2) {$dx$};

\end{tikzpicture}
\end{document}

上篇进程与线程

下篇docker 容器命令